Multilingual translation of Sobocinski's, Bonchi's & Zanasi's "Graphical Linear Algebra" (contributors be welcomed)

Last modified: 
17/11/2016

Translation credits

Please note that all of the translation contributions to the (and thus all of the translations themselves) only get accepted here if their respective authors agree to publish them under the Attribution-ShareAlike 4.0 license.

Percentages of contributed text1 per translator are shown in the table of thanks below:
Table of thanks to translators
Language (see footnotes for specific contributions per author) Translators
Chinese [中文]2
  • Chung-Yi Lan: 100%
  • ... Desire to contribute? Please contact me!
German [Deutsch]3
  • Vincent Verheyen: 100%
  • ... Desire to contribute? Please contact me!
Spanish [Español]4
  • Chung-Yi Lan: 100%
  • ... Desire to contribute? Please contact me!
French [Français]5
  • Tom Hirschowitz: 70%
  • Vincent Verheyen: 10%
  • Noël Bernard: 5%
  • Clovis Eberhart: 5%
  • Rodolphe Lepigre: 5%
  • Christophe Raffalli: 5%
  • ... Desire to contribute? Please contact me!
Dutch [Nederlands]6
  • Vincent Verheyen: 100%
  • ... Desire to contribute? Please contact me!
...
Also captivated by the agreeable pedagogy and contents of "Graphical Linear Algebra"? Care to contribute (or know somebody who would)? Please feel free to contact me!

Differences with original

Translations should always tried to be kept as close as possible to the original.

The images found here differ slightly with those which were present in the original English version. All the images (other than the two first ones) were created entirely anew, but heavily based on the original diagrams. Some images or animations were not present in the original version.

Other than the original diagrams, which all were in a GIF-format, I have re-created images as SVG's (which are scalable without loss in quality, and provide a transparent background which was not the case for the original GIF's).

Some diagrams were created (and some of those also animated) by using the open source 3D software Blender. Some of the imagery is made interactive (basically zoom-able and rotatable). The major source files (mostly .BLEND files), on which all the imagery below is based, can be downloaded as a .ZIP archive here.

All the imagery found here is licensed under the Attribution-ShareAlike 4.0 license (with exception of the two first images, which are in the public domain). I also wished to mention that the blue "spaceman"7 Lego figure represented here-below in episode four is an adaptation of a red Lego "spaceman" figure (placed in the public domain) modelled by Andrew Whitham after measurements based on calipers.
Please select your language of choice by clicking on any of the tabs here below:

圖形線性代數
斐波那契,《計算之書》序言 (初版于西元$1202$年,$1228$年的手稿由勞倫斯.西格勒翻譯成英文): 由於算術科學和幾何科學相連相助,因此要呈現有關數字的完整知識就不得不談到幾何學,亦在數學運算過程中也不能遠離幾何學; 此方法中許多的證明和演示都是由幾何圖形而發展出來的。
目錄

引言

1) 馬克萊萊和線性代數

科學和數學裡的線性代數就像是克洛德·馬克萊萊。馬克萊萊是一個眾所周知的退役足球運動員,一名法國國腳。在21世紀初他效力於著名的皇家馬德里隊。那是支號稱“銀河艦隊”的球隊 — 充滿了那一代最有名和迷人的球員。球員如席丹,菲戈,羅納度和羅貝托·卡洛斯。馬克萊萊幾乎從不是聚光燈下的焦點,領低薪的馬克來來還經常被球迷和記者批評。他的踢球風格並不是那麼受矚目。對一般的球迷來說,很少為他的踢球而感到興奮:他沒有進球得分,踢得沉悶,缺乏想像力,短側身傳球,很少在比賽中有出色表現。2003年,他以相對的低薪簽署轉會切爾西,很多皇馬球迷歡呼雀躍他的離去。但皇馬的球隊卻就此開始輸球落敗。

非專業者是難以體會馬克萊萊角色的重要性。但足球圈內經常將他描述為馱馬,機房,球隊的電池。他穩固中場,總是在適當的時候出現於適當位置攔截對手的進攻,使控球權歸為己方,並將得到了的球迅速傳給隊友,把防守轉為進攻。如果沒有馬克萊萊,銀河艦隊看上去可並不會這麼"銀河"。

同樣,線性代數幾乎沒有得到在聚光燈下焦點的青睞。然而現代科學研究中有許多如"銀河艦隊"的主題:例如人工智能和機器學習控制理論,求解微分方程系統,電腦圖學,“大數據”,甚至量子電腦皆有一個不可告人的秘密:他們的機房可全都是由線性代數供的電喔。

線性代數並不是特別有魅力。它通常是在本科生的第一年科學課教的,目的是為更精彩的東西做提前準備。它是一個背景知識。每個人都必須要知道什麼是矩陣,以及如何做矩陣的加法和乘法。“什麼是矩陣?”這個問題通常都是用一個特別無聊的方式來回答:矩陣是數字的雙排列。 例如 $$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\\end{array} \right)$$ 這是一個$2\times3$矩陣的例子,一個由數字元素構成的$2$行$3$列的矩陣。我想給這個答案有點類似於當人文學科一年級的大學生被告知,“詩”這個詞的定義是“詞的彙集”。為什麼數字矩陣在科學中是如此重要?

在這篇博客中,我們將探討理解線性代數,當中如矩陣,向量空間和基數的標準概念則不太會接觸到。我們也將在這點亮線性代數的應用。

馬克萊萊因他於切爾西如魚得水的幾年以及相應馬德里在他離開後的接連落敗中使其聲譽獲得平反。也該是時候讓線性代數成為聚光燈下的焦點了。

2) 方法,Handwaving(未經證實的說法)和圖解

[...]

¿ 歡迎加入幫忙翻譯這個網站內容. 您可以用 Attribution-ShareAlike 4.0 授權條款 協助翻譯這個網站內容. 如果您可以協助就太好了! 請與我聯絡,謝謝! ?
图形线性代数
斐波那契,《计算之书》序言 (初版于西元$1202$年,$1228$年的手稿由劳伦斯.西格勒翻译成英文): 由于算术科学和几何科学相连相助,因此要呈现有关数字的完整知识就不得不谈到几何学,亦在数学运算过程中也不能远离几何学; 此方法中许多的证明和演示都是由几何图形而发展出来的。
目录

引言

1) 马克莱莱和线性代数

科学和数学里的线性代数就像是克洛德·马克莱莱。马克莱莱是一个众所周知的退役足球运动员,一名法国国脚。在21世纪初他效力于著名的皇家马德里队。那是支号称“银河舰队”的球队 — 充满了那一代最有名和迷人的球员。球员如席丹,菲戈,罗纳度和罗贝托·卡洛斯。马克莱莱几乎从不是聚光灯下的焦点,领低薪的马克来来还经常被球迷和记者批评。他的踢球风格并不是那么受瞩目。对一般的球迷来说,很少为他的踢球而感到兴奋:他没有进球得分,踢得沉闷,缺乏想像力,短侧身传球,很少在比赛中有出色表现。 2003年,他以相对的低薪签署转会切尔西,很多皇马球迷欢呼雀跃他的离去。但皇马的球队却就此开始输球落败。

非专业者是难以体会马克莱莱角色的重要性。但足球圈内经常将他描述为驮马,机房,球队的电池。他稳固中场,总是在适当的时候出现于适当位置拦截对手的进攻,使控球权归为己方,并将得到了的球迅速传给队友,把防守转为进攻。如果没有马克莱莱​​,银河舰队看上去可并不会这么"银河"。

同样,线性代数几乎没有得到在聚光灯下焦点的青睐。然而现代科学研究中有许多如"银河舰队"的主题:例如人工智能和机器学习控制理论,求解微分方程系统,电脑图学,“大数据”,甚至量子电脑皆有一个不可告人的秘密:他们的机房可全都是由线性代数供的电喔。

线性代数并不是特别有魅力。它通常是在本科生的第一年科学课教的,目的是为更精彩的东西做提前准备。它是一个背景知识。每个人都必须要知道什么是矩阵,以及如何做矩阵的加法和乘法。 “什么是矩阵?”这个问题通常都是用一个特别无聊的方式来回答:矩阵是数字的双排列。例如 $$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\\end{array} \right)$$ 这是一个$2\times3$矩阵的例子,一个由数字元素构成的$2$行$3$列的矩阵。我想给这个答案有点类似于当人文学科一年级的大学生被告知,“诗”这个词的定义是“词的汇集”。 为什么数字矩阵在科学中是如此重要?

在这篇博客中,我们将探讨理解线性代数,当中如矩阵,向量空间和基数的标准概念则不太会接触到。我们也将在这点亮线性代数的应用。

马克莱莱因他于切尔西如鱼得水的几年以及相应马德里在他离开后的接连落败中使其声誉获得平反。也该是时候让线性代数成为聚光灯下的焦点了。

2) 方法,Handwaving(未经证实的说法)和图解

[...]

¿ 欢迎加入帮忙翻译这个网站内容. 您可以用 Attribution-ShareAlike 4.0 授权条款 协助翻译这个网站内容. 如果您可以协助就太好了! 请与我联络,谢谢! ?
Graphische Lineare Algebra
Fibonacci, Vorwort zur Liber Abaci (erstmals veröffentlicht $1202$, Manuskript aus dem Jahr $1228$ ins Englische übersetzt durch Lawrence Edward Sigler): Und weil die arithmetische Wissenschaft und die geometrische Wissenschaft miteinander verbunden sich gegenseitig unterstützen, kann die volle Kenntnis der Zahlen nicht dargestellt werden ohne Begegnung mit eine gewisse Geometrie, oder ohne zu sehen dass auf diese Weise mit Zahlen operieren der Geometrie nähe kommt; die Methode ist gefüllt mit vielen Beweisen und Demonstrationen, die mit geometrischen Figuren errichtet wurden.
Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1) Makélélé und Lineare Algebra

L ineare Algebra ist der Claude Makélélé von Wissenschaft und Mathematik. Makélélé ist ein bekannter, pensionierter Fußballer, ein Französische Internationaler. Er spielte in der berühmten Real Madrid Team von Anfang der $2000$er Jahre. Der Team war voll von “galácticos” — die berühmteste und meist glamouröse Spieler ihrer Generation. Spieler wie Zidane, Figo, Ronaldo und Roberto Carlos. Makélélé stand so gut wie nie im rampenlicht, wurde weniger bezahlt als seine mehr gefeierte Kollegen, und war häufig kritisiert von Fans und Journalisten. Sein Spielstil war nicht glamourös. Zum Durchschnittliche Fan gab es nicht vieles um sich zu begeisteren: Er machte keine Tore, er spielte langweilig, ohne Imagination, kurze Lateralpassen, er wurde so gut wie nie im Spiel-Highlights vorgestellt. Im Jahr $2003$ unterzeichnete er für Chelsea für relativ wenig Geld und viele Madrid-Fans jubelten. Ihr Team fing aber an Matche zu verlieren.

Die Bedeutung der Rolle Makélélés war schwierig zu schätzen für den Nichtfachmann. Aber Fußball-Insider beschrieben ihn regelmäßig als Arbeitspferd, der Maschinenraum, die Batterie des Teams. Er war tief im Mittelfeld, immer an der richtigen Stelle um gegnerische Angriffe zu stören, erholte sich der Ballbesitz, und bekam den Ball schnell zu seinem Mitspieler, Verteidigung umbiegend in Angriff. Ohne Makélélé, sahen die galácticos nicht ganz so galaktisch aus.

Ähnlich bekommt der linearen Algebra nicht sehr viel Zeit im Rampenlicht. Aber viele galáctico-Themen der modernen wissenschaftlichen Forschung: e.g. künstliche Intelligenz und Maschinelles Lernen, Kontrolltheorie, Systeme von Differentialgleichungen lösen, Computergrafik, “big data” und sogar Quantencomputing haben ein schmutziges Geheimnis: ihre Maschinenräumen werden durch lineare Algebra angetrieben.

Lineaire Algebra ist nicht sehr glamorös. Es wird normalerwiese von Studenten Naturwissenschaft im ersten Jahr studiert. Es ist Hintergrundwissen. Jeder hat zu lernen was ein Matrix ist, und wie man Matrizen addieren und multiplizieren kann. Die Frage “was ist ein Matrix” wird in der Regel in einer besonders langweilige Art und Weise beantwortet: eine Matrix ist eine doppelt indizierte Folge von Zahlen. Zum Beispiel $$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\\end{array} \right)$$ ist ein Beispiel für ein $2\times3$-Matrix, eine rechteckige Sammlung von Zahlen mit $2$ Zeilen und $3$ Spalten. Ich denke, dass dieses zur Antwort geben etwas ähnlich is wie Studenten im ersten Jahr Geisteswissenschaften erzählt bekommen dass die Definition des Wortes “poesie” ein “Sammlung von Wörtern” ist. Warum sind die rechteckigen Sammlungen von Zahlen so wichtig in der Wissenschaft?

In diesem Blog werden wir eine ganz andere Art und Weise der linearen Algebra zu verstehen explorieren, wobei die Standardkonzepte wie Matrizen, Vektorräume und Basen sehr selten vorgestellt werden. Wir werden auch Anwendungen der linearen Algebra, in diesem neuen Licht betrachtet, anrühren.

Makélélé's Ruf wurde vollständig rehabilitiert nach ein paar fantastische Jahre bei Chelsea und den entsprechenden Scheitern von Madrid nach seiner Abreise. Es ist Zeit für die lineare Algebra, seine Zeit im Rampenlicht zu haben.

2) Methodik, Handwaving und Diagramme

...

¿ Zu ergänzen. Würden Sie gerne beitragen durch das Übersetzen von Ergänzungstext unter der Attribution-ShareAlike 4.0 Lizenz? Es wäre großartig! Bitte kontaktieren Sie mich. ?
Álgebra Lineal Gráfica
Fibonacci, prefacio de Liber Abaci (fue publicado por primera vez en $1202$, manuscrito de $1228$ fue traducido por Lawrence Edward Sigler): Debido a que la ciencia aritmética y la ciencia geométrica están conectadas, y se apoyan mutuamente, el pleno conocimiento de los números no pueden ser presentados sin encontrar un poco de geometría, o sin ver que haciendo operaciones de esta manera con los números se están relacionando a la geometría; el método está lleno de muchas pruebas y demostraciones que se hacen con figuras geométricas.
Sumario

Introducción

1) Makélélé y el Álgebra Lineal

E l álgebra lineal es el Claude Makélélé en la ciencia y las matemáticas. Makélélé es un futbolista retirado muy conocido, es nacionalizado francés. Él jugó en el famoso equipo Real Madrid de la década de $2000$. Ese equipo estaba lleno de “galácticos” — de los jugadores más famosos y glamorosos de su generación. Jugadores como Zidane, Figo, Ronaldo y Roberto Carlos. Makélélé casi nunca ha sido el centro de atención, se le pagaban menos que sus colegas más célebres y fue criticado con frecuencia por los aficionados y periodistas. Su estilo de jugar no era atractivo. Para el aficionado ocasional, no había mucho para conseguir emociones como: no marcaba goles, jugaba muy aburrido, sin imaginación, pases cortos, que casi nunca se aparece en las mejores jugadas. En $2003$ Makélelé acabó firmando por el Chelsea por relativamente poco dinero, y muchos aficionados de Madrid se aplaudaron por su partida. Sin embargo, su equipo comenzó a perder partidos.

La importancia del papel de Makélélé era difícil de apreciar para los no-especialistas. Pero fuentes de fútbol lo describieron regularmente como el caballo de trabajo, la sala de máquinas, la batería del equipo. Se sentó de profundidad en el centro del campo, siempre estaba en el lugar correcto para interrumpir ataques de la oposición, se recuperaba la posesión, y se llevaba el balón con rapidez a sus compañeros de equipo, convirtiendo la defensa en ataque. Sin Makélélé, los galácticos no se veían tan galáctico.

Del mismo modo, el álgebra lineal no ha sido el centro de atención. Sin embargo, existen muchos sujetos Galáctico de la investigación científica moderna: por ejemplo, la inteligencia artificial y aprendizaje automático, la teoría del control, solución de sistemas de ecuaciones diferenciales, gráficos por ordenador, “big data”, e incluso la computación cuántica, todos estos sujetos galácticos tienen un sucio secreto: sus salas de máquinas son accionadas por el álgebra lineal.

El álgebra lineal no es muy atractivo. Se enseña a los estudiantes de ciencias normalmente en su primer año, para prepararse para las cosas más emocionantes por delante. Es de conocimiento de fondo. Cada uno tiene que aprender lo que es una matriz, y la forma de sumar y multiplicar matrices. La pregunta “¿Qué es una matriz?” se responde típicamente de una manera particularmente aburrido: una matriz es un doble conjunto de números. Por ejemplo $$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\\end{array} \right)$$ es un ejemplo de una matriz de $2\times3$, una colección rectangular de números con $2$ filas y $3$ columnas. Creo que dando esta respuesta es algo similar a que los estudiantes del primer año de humanidades digan que la definición de la palabra “poesía” es “colección de palabras”. ¿Por qué las colecciones rectangulares de números son importantes en la ciencia?

En este blog vamos a explorar una forma muy diferente de entender el álgebra lineal, donde los conceptos estandares, tales como matrices, espacios vectoriales y bases contarán con muy poca frecuencia. También vamos a tocar sobre las aplicaciones del álgebra lineal en esta nueva luz.

La reputación de Makélélé fue completamente rehabilitada después de unos pocos años fantásticos en el Chelsea y los fallos correspondientes a Madrid después de su partida. Es hora de que el álgebra lineal sea el centro de atención.

2) Metodología, Handwaving y Diagramas



[...]

¿ Para ser complementado. ¿Le gustaría contribuir la traducción de texto adicional usando la Attribution-ShareAlike 4.0 licencia? ¡Eso sería genial! Por favor contáctame. ?
Algèbre Linéaire Graphique
Fibonacci, le préface du Liber Abaci (premièrement publié en $1202$, manuscrit de $1228$ traduit en anglais par Lawrence Edward Sigler): Et parce que la science arithmétique et la science géométrique sont liés entre eux, et se soutiennent mutuellement, la connaissance complète des nombres ne peut pas être présentée sans rencontrer un peu de géométrie, ou sans voir qu'operer de cette manière sur les nombres est proche de la géométrie; la méthode est rempli de nombreuses preuves et démonstrations qui sont faites avec des figures géométriques.
Table des matières

Introduction

1) Makélélé et Algèbre Linéaire

L 'algèbre linéaire est à la science en général et aux mathématiques en particulier ce que Claude Makélélé est au foot. Makélélé est un international français de foot, aujourd'hui à la retraite. Il a fait partie du fameux Real Madrid des années $2000$, quand le club était blindé de “galácticos” — les joueurs les plus célèbres et brillants de leur génération. Des joueurs comme Zidane, Figo, Ronaldo et Roberto Carlos. Makélélé n'était quasiment jamais sur le devant de la scène; il était moins bien payé et moins acclamé que ses collègues et il était souvent la cible des critiques des fans et des journalistes. Son style de jeu n'était pas spectaculaire. Il n'y avait pas de quoi enflammer les foules : il ne marquait pas de buts; il jouait tout en passes latérales courtes, ennuyeuses, sans imagination; on ne le voyait jamais dans les extraits de meilleurs moments des matches. En $2003$, il signe pour Chelsea pour un montant relativement faible et de nombreux fans madrilènes s'en réjouissent. Mais leur équipe commence à perdre des matches.

L'importance de Makélélé était difficile à mesurer pour un amateur. Mais les spécialistes le décrivaient régulièrement comme le cheval de trait, le moteur, le carburant de l'équipe. Il campait en milieu de terrain, était toujours au bon endroit pour déjouer les attaques adverses, regagner la possession du ballon et relancer rapidement. Sans Makélélé, les galácticos avaient tout de suite l'air moins galactiques.

De la même manière, l'algèbre linéaire est rarement sur le devant de la scène. Mais un bon nombre de galácticos de la recherche scientifique moderne, tels que l'intelligence artificielle, l'apprentissage automatique, la théorie du contrôle, la résolution de systèmes d'équations différentielles, l'infographie, “big data” et même l'informatique quantique cachent un secret honteux: ils carburent à l'algèbre linéaire.

L'algèbre linéaire n'est pas très spectaculaire. En général, c'est un cours de base en première année de licence scientifique, nécessaire en vue de cours plus excitants. Tout le monde doit savoir ce qu'est une matrice, comment on les additionne et comment on les multiplie. A la question “qu'est-ce qu'une matrice”, on donne généralement une réponse barbante du genre: une matrice est un tableau de nombres à double entrée. Par exemple $$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\\end{array} \right)$$ est une matrice $2\times3$, une suite de nombres formant un rectangle de $2$ lignes et $3$ colonnes. Pour moi, cette réponse, c'est un peu comme enseigner à des étudiants de lettres qu'une poésie n'est qu'une suite de mots. Qu'est-ce qui fait que les rectangles de nombres sont si importants en science?

Dans ce blog, on va explorer une manière radicalement différente de comprendre l'algèbre linéaire, où on ne rencontrera presque pas les concepts traditionnels de matrice, d'espace vectoriel, de base, etc. On abordera aussi certaines applications de l'algèbre linéaire sous ce nouvel angle.

La réputation de Makélélé a été complètement rétablie après quelques années fabuleuses à Chelsea et les échecs de Madrid suite à son départ. L'heure est enfin venue pour l'algèbre linéaire d'occuper le devant de la scène.

2) Méthode, Agitage de mains et Diagrammes

Depuis mon premier post, plusieurs personnes m'ont interrogé sur ce que je veux faire avec ce blog. Commençons donc par quelques mots de méthodologie.

J'essaierai — autant que possible — de rester accessible à des gens qui n'ont jamais vu, voire jamais entendu parler d'algèbre linéaire. Dans le même temps, je m'attends à ce que plusieurs lecteurs (la plupart?) soient au moins familiers avec les concepts traités. Donc pour ceux qui savent, j'expliquerai parfois comment ce qu'ils savent déjà peut se comprendre dans le style différent qu'on utilisera. Mais si vous êtes un expert et si vous pensez que la formule pour multiplier des matrices est si basique et naturelle que personne de sain d'esprit de devrait écrire de blog dessus, alors je sens que je vais avoir du mal à vous convaincre.

Je suis un universitaire. Mon travail est d'enseigner, de faire de la recherche et d'écrire des articles. J'adore enseigner et faire de la recherche. Écrire des articles scientifiques, moins. Écrire, au moins pour moi, exige un travail énorme. Un article de conférence de $15$ pages représente en gros $60+$ heures de travail, minimum, sans compter le travail de recherche qui le précède. La quantité de travail ne varie pas linéairement en fonction de la longueur et donc doubler la longueur signifie beaucoup plus que doubler le travail. Après tout le sang, la sueur et les larmes, la suite est un peu déprimante: l'article est relu anonymement par des pairs et avec un peu de chance il est accepté avec des appréciations tièdes. Parfois les relecteurs sont étroits d'esprit et méchants. C'est assez désagréable.

Si Internet nous a appris une chose, c'est que $$\text{humanité} + \text{anonymité} = \text{désagréments}$$ L'histoire, de plus, nous a enseigné encore et encore que $$\text{humanité} + \text{pouvoir} = \text{désagréments}$$ La relecture par des pairs anonymes combine des humains, de l'anonymité et un peu de pouvoir. Le résultat n'est pas surprenant.

L'étape suivante est la publication de votre article et peut-être sa présentation lors d'une rencontre scientifique, devant un auditoire de $10$ à $100$ personnes, $50\%$ desquelles consacreront le temps de votre présentation à lire leur mail. Encore une fois, impressions mitigées. Ensuite, après la publication, parfois vos collègues vous citeront. Mon article le plus cité l'a été environ $150$ fois. C'est considéré comme pas mal, au passage.

Donc, pour revenir au sujet, je veux me faire plaisir en écrivant ce blog. Ne vous attendez surtout pas à une rédaction scientifique. Ça sera totalement non professionnel. Je veux écrire sur Makélélé et les Lego magiques. Parfois, je présenterai mes opinions dans un style quelque peu “australien”. J'ai passé mon enfance en Pologne, mais j'ai grandi en Australie. Dans ce blog, je laisserai libre cours à mon australiannité. Les Australiens, comme les Écossais, ont tendance à appeler un chat un chat. Les Anglais sont en général moins directs. L'anglicité est toute en subtilité et en insinuation. Au cours des siècles, ils ont raffiné leur discours public et développé des techniques de haut niveau, très poussées, comme (l'insulte par) l'éloge du bout des lèvres.

C'est étonnant de voir que des professeurs d'Oxbridge célèbres, éduqués à l'école publique, tout ce qu'il y a de plus distingués, sont souvent considérés dans leur communauté scientifique internationale comme de parfaits gentlemen. Certains d'entre eux le sont réellement, bien sûr. Certains sont souvent aussi grossiers que leur anglicité peut le leur permettre, c'est juste que leurs pires insultes sont prises comme des compliments. Ils ont le beurre et l'argent du beurre — j'en suis vraiment jaloux. Je me permets d'expliquer pour les non avertis: disons que vous leur demandez leur opinion sur votre travail et qu'ils répondent “je trouve votre travail très intéressant”. Ça ressemble à un compliment, on est d'accord? Perdu. C'est rejet net, ils détestent. Pensez-y: “très intéressant” n'est pas un compliment très fort; on peut le prendre de plusieurs manières. Au moins, on les défonce régulièrement au cricket.

Comme vous pouvez le voir, ici, les choses seront parfois personnelles. Les gens qui me connaissent savent de quoi je parle. Certains d'entre eux, même anglais, me parlent encore.

Je promets une chose: j'essaierai de rester sérieux sur les maths. Ça veut dire que j'essaierai très fort de ne pas agiter les mains. L'agitage de mains c'est quand vous avez genre l'air de savoir de quoi vous parlez, mais en fait vous êtes juste en train de deviner, d'utiliser de vagues analogies, etc. Quand les gens font ça, ils ont naturellement tendance à agiter beaucoup les mains, d'où le nom anglais handwaving. Donc, même si je donne beaucoup d'intuitions, toutes ces intuitions seront finalement expliquées. Ça sera dur, parce que j'adore vraiment agiter les mains. S'il vous plaît, dites-moi si je le fais et dites-moi d'arrêter. J'essaierai aussi de citer les travaux connexes et de créditer mes sources et de ne pas faire de grandes déclarations sur l'utilité des maths. Mais je ne serai pas plus professionnel que ça.

Dans nos discussions on utilisera beaucoup de diagrammes. D'où le "graphique" dans algèbre linéaire graphique. Les diagrammes ont depuis longtemps très mauvaise presse en science en général et en maths en particulier, parce qu'ils sont en quelque sorte moins formels, moins rigoureux, moins “matheux” que les formules. Malheureusement, il est vrai que les diagrammes sont souvent utilisés par les gros agiteurs de mains. Quand les capitaines sceptiques de la science voient un diagramme, ils reculent légèrement. Ils regardent dans la pièce autour d'eux. Ils secouent la tête en signe de connivence avec la personne la plus importante de la pièce. Je veux dire, pourquoi ne pas écrire une bonne et honnête formule? Vous voyez, genre $e^{\pi i} = -1$. Les formules apparaîtront parfois dans ce blog, principalement pour apaiser les cognoscenti grisonnants.

Le truc, c'est que — utilisés avec précaution — les diagrammes peuvent s'avérer extrêmement utiles, rigoureux et $100\%$ formels sans agitage de mains. Aussi honnêtes que les meilleures formules, mais beaucoup plus concis et beaucoup plus faciles à lire. Encore mieux que des rectangles de nombres, qui — comme je l'ai dit — sont très importants. On connaît tous le cliché “un dessin vaut mieux qu'un long discours”. On verra comment, au sens littéral, un diagramme peut valoir mieux qu'un long discours.

Il y a une branche des mathématiques nommée la théorie des catégories, inventée par Saunders Mac Lane et Samuel Eilenberg dans les années $40$, où les diagrammes sont utilisés depuis le tout début. Les catégoriciens aiment bien les diagrammes et on utilisera la théorie des catégories pour faire de l'algèbre linéaire graphique. Au passage, d'excellents pans de la théorie des catégories viennent d'Australie.

Si ça se trouve, vous connaissez déjà la théorie des catégories. Sinon, je vous laisse sur une petite curiosité sociologique: la théorie des catégories s'est attiré beaucoup d'animosité au pays de la science. Plusieurs collègues m'ont discrètement glissé des choses du genre “J'ai essayé la théorie des catégories une fois, mais plus jamais” ou “Un de mes amis l'a utilisée une fois et ça a été un désastre total. C'est juste trop abstrait. Je préfère le concret.” Normalement, je réussis à ne rien montrer. Mais je me demande combien de charpentiers ont dit “J'ai essayé d'utiliser une perceuse électrique une fois, mais ça a été un désastre complet. Le truc a fait un trou n'importe où. Et le trou était pas de la bonne taille. Plus jamais ça.” Je veux dire, le prenez pas mal, ça va très bien d'être charpentier et de ne pas utiliser de perceuse électrique.

C'est vrai que plusieurs catégoriciens aiment nager en eaux profondes. Parfois, les eaux sont même pas tout-à-fait assez profondes, alors ils s'en vont et en imaginent d'autres encore plus profondes. En général, on se retrouve avec plusieurs mers, infiniment profondes et potentiellement non-équivalentes. C'est cool, mais ça fait un peu tourner la tête.

Donc ne paniquez pas. Je ne suis pas vraiment un catégoricien, même si j'ai eu suffisamment de chance pour en rencontrer des géniaux et suivre leur enseignement. Faites-moi confiance. On va rester du côté superficiel, faire des choses très concrètes, genre des additions. En fait, l'addition est le sujet du prochain épisode.

[...]

¿ À compléter. Voudriez-vous contribuer par traduire un texte supplémentaire sous la licence Attribution-ShareAlike 4.0? Ce serait formidable! S'il vous plaît contacter moi. ?

Sera complété dans le futur.
Grafische Lineaire Algebra
Fibonacci, voorwoord tot Liber Abaci, (eerst gepubliceerd in $1202$, manuscript uit $1228$ vertaald naar het Engels door Lawrence Edward Sigler): En omdat arithmetische wetenschap en geometrische wetenschap verbonden zijn, en elkaar ondersteunen, kan de volledige kennis van nummers niet gepresenteerd worden zonder enige geometrie te ontmoeten, of zonder te zien dat op deze manier op getallen inwerken dicht bij geometrie ligt; de methode steekt vol met vele bewijzen en demonstraties die gemaakt zijn met geometrische figuren.
Inhoudstafel

Inleiding

1) Makélélé en Lineaire Algebra

L ineaire algebra is de Claude Makélélé van de wetenschappen en de wiskunde. Makélélé is een welbekende gepensioneerde voetbalspeler, een Franse internationale. Hij speelde in het beroemde Real Madrid team van de vroege jaren $2000$. Dat team zat vol met “galácticos” — de meest beroemde en glamoureuze spelers van hun generatie. Spelers zoals Zidane, Figo, Ronaldo en Roberto Carlos. De schijnwerpers waren slechts uitzonderlijk op Makélélé gericht, hij was minder betaald dan zijn meer gevierde collega's en werd herhaaldelijk bekritiseerd door fans en journalisten. Zijn speelstijl was niet glamoureus. Voor de alledaagse fan was er niet veel om opgewonden over te raken: hij scoorde geen goals, hij speelde saai, zonder fantasie, korte zijdelingse passen, hij werd zelden belicht in de hoogtepunten van een match. In $2003$ tekende hij voor Chelsea, voor relatief weinig geld, en vele fans van Madrid juichden. Maar hun team begon matchen te verliezen.

Het belang van Makélélé was moeilijk te waarderen voor de niet-specialist. Maar voetbal experts beschreven hem regelmatig als het werk-paard, de machinekamer, de batterij van het team. Hij zat diep in het middenveld, was altijd op de juiste plaats om oppositie-aanvallen te verstoren, heroverde balbezit, en kreeg de bal snel tot bij zijn teamgenoten, waarbij hij verdeding liet omslaan in aanval. Zonder Makélélé zagen de galácticos er niet zo galactisch uit.

Analoog krijgt lineaire algebra niet veel tijd onder de schijnwerpers. Maar vele galáctico onderwerpen van modern wetenschappelijk onderzoek: e.g. kunstmatige intelligentie, machinaal leren, regeltechniek, stelsels van differentiaalvergelijkingen oplossen, computer graphics, “big data”, en zelfs kwantum computing hebben een vuil geheim: hun machinekamers worden aangedreven door lineaire algebra.

Lineaire algebra is niet erg glamoureus. Het wordt normalerwijze onderwezen aan studenten in het eerste jaar [Nederland: "de propedeuse"] van hun exact-wetenschappelijke bachelorstudie, om zich voor te bereiden op meer spannend spul dat hen te wachten staat. Het is achtergrondkennis. Iedereen moet leren wat een matrix is, en hoe matrices bij elkaar op te tellen en met elkaar te vermenigvuldigen. De vraag “wat is een matrix?” wordt typisch beantwoord op de volgende bijzonder saaie manier: een matrix is een dubbel array van getallen. Bijvoorbeeld $$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\\end{array} \right)$$ is een voorbeeld van een $2\times3$ matrix, een rechthoekige verzameling van getallen met $2$ rijen en $3$ kolommen. Ik denk dat het geven van dit antwoord enigszins gelijkt op eerstejaarsstudenten [Nederland: “propedeuse-studenten”] cultuurwetenschappen vertellen dat de definitie van het woord “poëzie” een “collectie van woorden” is. Waarom zijn rechthoekige verzamelingen van getallen zo belangrijk in de wetenschap?

In deze blog zullen we een erg andere manier verkennen om lineaire algebra te begrijpen, waarin de standaardconcepten zoals matrices, vectorruimtes en basissen zeer zelden opdraven. We zullen ook kort ingaan op de applicaties van lineaire algebra in die optiek.

Makélélé's reputatie was compleet gerevalideerd na een aantal fantastische jaren bij Chelsea en de daarbijbehorende mislukkingen van Madrid na zijn vertrek. De tijd is gekomen voor lineaire algebra om haar tijd onder de schijnwerpers te hebben.

2) Methodologie, Handwaving en Diagrammen

Sinds mijn eerste post hebben verschillende mensen mij gevraagd naar mijn plannen voor deze blog. Dus laten we beginnen met enkele woorden over methodologie.

Ik zal proberen — zoveel als mogelijk — om het materiaal toegankelijk te houden voor mensen die nog nooit lineaire algebra gezien hebben, of er zelfs maar van gehoord hebben. Tegelijkertijd verwacht ik dat vele (de meeste?) lezers tenminste ietwat bekend zullen zijn met de concepten. Dus voor diegenen die ingewijd zijn zal ik soms informatie opnemen over hoe wat zij al weten verstaan kan worden in de andere stijl die we zullen gebruiken. Maar als je een expert bent en denkt dat de formule voor matrices te vermenigvuldigen zo basisch en natuurlijk is dat geen geestelijk gezond persoon blogs zou moeten schrijven over het onderwerp, dan vermoed ik dat ik grote moeite zal hebben om je voor mij te winnen.

Ik ben een academicus. In mijn job geef ik les, doe onderzoek, en schrijf papers. Ik hou van lesgeven en onderzoek doen. Wetenschappelijke papers schrijven is niet zo geweldig. Schrijven, althans voor mij, vraagt massieve hoeveelheden werk. Een typische conferentie paper van $15$ pagina's is, op zijn minst, een volle $60^+$ uren werk, afgezien van het eigenlijke onderzoek dat daar aan voorafgaat. De hoeveelheid werk is niet lineair in lengte, en zodus twee keer de lengte betekent veel meer dan twee keer het werk. Eenmaal besteedde ik een volle $3$ maanden werkende aan een $60$ pagina's tellende paper. Wat vervolgens gebeurt, na al het bloed, zweet en tranen, is ietwat deprimerend: de paper wordt (anoniem) collegiaal getoetst, en als je geluk hebt ontvangt het enkele lauwe recensies. Soms zijn zulke beoordelaars zeer kneuterig en gemeen. Het is niet aangenaam.

Als het internet ons iets geleerd heeft, dan is het dat $$\text{mensen} + \text{anonimiteit} = \text{onaangenaamheid}$$ De geschiedenis, bovendien, heeft ons keer op keer geleerd dat $$\text{mensen} + \text{macht} = \text{onaangenaamheid}$$ Anonieme collegiale toetsing combineert mensen, wat anonimiteit, en een klein beetje macht. De resultaten zijn niet verbazingwekkend.

De volgende stap is je paper gepubliceerd te krijgen, en misschien voorgesteld op een wetenschappelijk congres, voor een publiek van ergens tussen de $10$ en $100$ mensen, waarvan $50\%$ gedurende de gehele presentatie bezig zullen zijn met hun mails te lezen. Wederom, niet een geweldig gevoel. Dan, nadat je paper wordt gepubliceerd, zullen je collega's je soms citeren. Mijn meest geciteerde paper heeft rond $150$ citaties. Dat wordt als niets slecht beschouwd, overigens.

Dus, om terug te gaan naar het onderwerp, ik wou graag plezier beleven aan het schrijven van deze blog. Verwacht je niet aan zoiets als wetenschappelijk schrijven. Ik wil schrijven over Makélélé en magische Lego. Soms zal ik mijn meningen in een ietwat “Australische” stijl presenteren. Ik heb mijn kindertijd doorgebracht in Polen, maar ben opgegroeid in Australia. In deze blog zal ik mijn Australisch-heid kanaliseren. Australiërs, zoals de Schotten, neigen ertoe het kind bij de naam te noemen. De Engelsen zijn meestal niet zo direct. Engels-heid draait allemaal rond subtiliteit en insinuatie. Over de eeuwen heen, hebben ze hun publieke discours verfijnd en geavanceerde technieken van hoog niveau ontwikkeld zoals het geven van een compliment maar het tegenovergestelde bedoelen.

Het is grappig dat beroemde, Engelse, publieke school onderwezen, in alle opzichten chique Oxbridge professors vaak beschouwd worden in hun internationale wetenschappelijke community's als de perfecte gentlemen. Sommigen van hen zijn dat ook, uiteraard. Sommigen zijn vaak zo onbeschoft als hun extreme Engels-heid hun mogelijk toelaat, het is gewoon dat hun ergste beledigingen misbegrepen worden als complimenten. Ze kunnen van twee walletjes eten — dat maakt me erg jaloers. Laat me het even uitleggen voor de Engels niet-bewusten: stel dat je hun opinie vraagt over je werk en dat ze antwoorden “Ik denk dat je werk erg interessant is”. Klinkt als een compliment, toch? Fout. Het is een serieuze afknapper, ze haten het. Sta er bij stil: “zeer interessant” is niet een bijzonder sterk compliment; het kan geïnterpreteerd worden op verschillende manieren. Ten minste ruïneren we ze regelmatig bij het cricket.

Zoals je kan zien, dingen zullen soms een beetje persoonlijk worden hier. De mensen die mij kenen, weten wat ik bedoel. Sommigen onder hen, zelfs sommige Engelse personen, praten nog steeds tegen mij.

Ik beloof één ding: ik zal proberen om serieus te zijn over de wiskunde. Ik bedoel, ik zal erg hard proberen om niet aan handwaving te doen. Handwaving is wanneer je iet of wat klinkt alsof je weet waarover je praat, maar je eigenlijk alleen maar aan het speculeren bent, vage analogieën gebruikt, etc. Wanneer mensen dit doen, neigen ze er natuurlijk toe veel met hun handen te zwaaien, vandaar de naam. Dus, hoewel ik veel intuïtie zal meegeven, zal alle intuïtie uiteindelijk worden verklaard. Het zal hard zijn, omdat ik echt, echt van handwaving houd. Laat het me alstublieft weten als je het opmerkt, en zeg me ermee te stoppen. Ik zal ook proberen om gerelateerd werk te citeren en om bronnen te honoreren, en om geen vergezochte aanspraak te maken op waarvoor de wiskunde kan gebruikt worden. Maar dat is ongeveer zo professioneel als dat je het krijgen zal.

In onze discussies zullen we veel diagrammen gebruiken. Vandaar het “grafische” in grafische lineaire algebra. Diagrammen hebben veel slechte publiciteit gekregen in wetenschap en wiskunde overheen de jaren, omdat ze op een of andere manier minder formeel, minder rigoureus, minder “wiskunde-achtig” zouden zin dan formules. Helaas, het is waar dat diagrammen vaak worden gebruikt door mensen die graag veel met hun handen zwaaien. Wanneer sceptische kapitein van de wetenschap een diagram zien, deinzen ze lichtjes terug. Ze kijken rond in de kamer. Ze schudden hun hoofd willens en wetens naar de meest belangrijke persoon in de kamer. Ik bedoel, waarom niet gewoon rechttoe rechtaan een onomwonden formule gebruiken? Weet je, zoals $e^{\pi i} = -1$. Formules zullen soms verschijnen in deze blog, voornamelijk om de vergrijsde connaisseurs te sussen.

Het punt is dat — wanneer omzichtig gebruikt — diagrammen extreem handig kunnen zijn, rigoureus en totaal $100%$ geen-handen-gezwaaid formeel. Zo eerlijk als de beste formules, maar veel compacter, en veel gemakkelijker te lezen. Zelfs beter dan de rechthoeken van getallen, die — zoals ik eerder heb gezegd — erg belangrijk zijn. We kennen allemaal het cliché “een beeld zegt meer dan duizend woorden”. We zullen zien hoe, vrij letterlijk, een diagram duizend formules kan uitdrukken.

Er is een tak wiskunde die categorietheorie genoemd wordt, uitgevonden door Saunders Mac Lane en Samuel Eilenberg in de jaren 1940, waarbij diagrammen gebruikt zijn sinds het begin. Categorietheoreticus zijn comfortabel met diagrammen, en we zullen categorie theorie gebruiken om grafische lineaire algebra te doen. Veel van de voorname categorietheorie komt uit Australië, trouwens.

Misschien weet je al iets over categorie theorie. Als dat niet zo is, zal ik je een geheimpje vertellen, een sociologische curiositeit: er is veel vijandigheid tegenover categorietheorie in daarbuiten in het wetenschaps-land. Ik heb verschillende collega's gehad die me dingen zeiden zoals “Ik heb categorietheorie een keer geprobeerd, maar nooit meer” of “Een van mijn vrienden gebruikten het eens en het was een complete ramp. Het is gewoon al te abstract. Ik doe graag concrete dingen.” Normaal gezien slaag ik erin om mijn gezicht in de plooite houden. Maar ik vraag me af hoeveel timmermannen ooit gezegd hebben “Ik probeerde eens een elektrische boor te gebruiken, maar het was een complete ramp. Het ding maakte een gat volledig in de foute plaats. En het gat was de verkeerde maat. Nooit meer.” Ik bedoel, begrijp me niet verkeert, het is helemaal prima om een timmerman te zijn en geen gebruik te maken van elektrische boormachines.

Het is waar dat vele categorietheoreticus graag het diepe einde van het zwembad verkennen. Soms is het zwembad niet helemaal diep genoeg en gaan ze weg en stellen ze zich iets dieper voor. Doorgaans eindigen we met verschillende, mogelijk niet-equivalente, oneindig diepe zwembaden. Het is cool, maar , eventueel niet-equivalent, oneindig diepe poelen. Het is cool, maar men hooft gaat ervan aan het tollen.

Dus paniekeer niet. ik ben niet echt een categorietheoreticus, alhowel ik het geluk heb gehad om enkele werkelijk grote categorietheoristen ontmoet te hebben en ervan geleerd te hebben. Je kan me vertrouwen. We zullen meestal in het ondiepe einde blijven, en zeer concrete dingen doen, zoals optellen. In feite, optellen is het onderwerp van de eerstvolgende aflevering.

Optellen en kopiëren

3) Optellen (Deel 1) en dhr. Fibonacci

Een van je eerste ervaringen met wiksunde was waarschijnlijk optellen. De allereerste ervaring was waarschijnlijk leren te tellen: $1, 2, 3,$, enzoverder. Grafische lineaire algebra heeft interessante dingen te zeggen over tellen, maar dat verhaal zal moeten wachten voor een andere keer. Leren over optellen valt samen met leren over wiskunde formules zoals $$3+4=7 \hspace{50px} \Large{①}$$ $\text{Drie}$ plus $\text{vier}$ is gelijk aan $\text{zeven}$. Als je $\text{drie}$ appels hebt en ik geef je $\text{vier}$ extra appels, hoeveel appels heb je dan? Laten we een beetje praten over wiskundige formule $\large{①}$. Je hebt vergelijkingen zoals deze zo vele malen gezien dat je er compleet comfortabel mee bent en dat je alle concepten hebt geïnterioriseerd. Je kan je zelfs niet meer herinneren het niet te begrijpen, toch? Zelfs de mensen die wiskunde haten leren dit spul vooraleer ze het gaan haten.

Maar schijn bedriegt, en $\large{①}$ is eigenlijk nogal subtiel. Voor dat we verdergaan, laten we praten over de symbolen die betrokken zijn. Ten eerst, '$+$' is een operatie. The linkerzijde van vergelijking $\large{①}$, het spul aan de linkerkant van het symbool '$=$', kan eigenlijk verstaan worden als een procedure, een berekening. Het is het verwerken van datgene wat je met je vingers deed wanneer de leerkracht praatte over appels.

Het symbool '$+$' is de naam van de procedure, en het neemt twee argumenten: hier de getallen $3$ en $4$. Het eerste argument is $3$, het tweede argument is $4$. De rechterkant van $\large{①}$, $7$, is het resultaat van de berekening. Dus we kunnen het symbool '$=$' begrijpen als ons vertellend dat "het resultaat van de berekening aan mijn linkerkant is het ding aan mijn rechterkant".

Maar dan schreef de leerkracht misschien $$7=3+4 \hspace{50px} \Large{②}$$ en verwarde jij: in $\large{②}$ is de bewerking aan de rechterzijde en het resultaat is aan de linkerzijde! Je werd waarschijnlijk een professor informatica. Je houdt je inputs graag aan de linkerkant en je outputs aan de rechterkant. Blijf alstublieft bij ons, want in grafische lineaire algebra is de relatie tussen $\large{①}$ en $\large{②}$ extreem belangrijk en we zullen veel tijd besteden aan het bespreken ervan. Technisch gezien is dit omdat '$=$' een relatie definiëert, en relaties zullen van vitaal belang zijn voor ons.

Voor nu, laten we het geavanceerde onderwerp van $\large{②}$ vergeten. We zullen eerst concentreren op te trachten ons te verdiepen in $\large{①}$. Eigenlijk zijn er verschillende manieren om $\large{①}$ te begrijpen. In grafische lineaire algebra zullen we het begrijpen op twee manieren. In deze aflevering gaan we praten over de eerste van die twee manieren.

Zoals je al weet zullen we in deze blog proberen vermijden vergelijking zoals $\large{①}$ en $\large{②}$ te schrijven. Vergelijkingen zijn zo van de vorige eeuw en het is hoog tijd voor ons eerste diagram. We zullen '$+$' tekenen als een witte cirkel. De twee argumenten komen langs links binnen, het eerste via de bovenste pijl, het tweede via de onderste. Het resultaat komt er dan langs rechts uit. Omdat het woord "pijl" saai is, generiek en te veel gebruikt, zullen we de lijnen "draden" noemen. Het woord "draad" is tamelijk suggestief: data reist overal rondom ons heen via draden. Draden dragen bijvoorbeeld stukjes informatie van en naar je draadloze router terwijl je dit leest.

Ga je gang en stel je nummers voor die zich verplaatsen via de draden, gaande in de richting aangegeven door de pijlpunten. Wanneer een $3$ aankomt op de eerste-argument-draad, en een $4$ aankomt op de tweede-argument-draad, zal er een $7$ uitkomen op de resultaat-draad. Analoog, als $43$ aankomt op de eerste-argument-draad, en $57$ aankomt op de tweede-argument-draad, zal $100$ uitkomen op de resultaat-draad. Gemakkelijk genoeg, toch?

Wiskundigen praten gewoonlijk niet over de symbolen die ze gebruiken. Een deel van de "leut" van een bachelorstudent wiskunde te zijn is het leren van een vreemde taal waarvan niemand eigenlijk de moeite neemt om ze je expliciet aan te leren. Je wordt verondersteld het gewoon te assimileren, alsof het iets even zo natuurlijk zou zijn als de concepten die het beschrijft.

Om eerlijk te zijn: wiskundigen hadden honderden jaren om efficiënte manieren te vinden om te schrijven over de concepten die ze liefhebben. Ik bedoel, hoeveel we deze formules ook dissen in deze blog, laten we toegeven dat $43+57=100$ tamelijk kort en beknopt is. Het was niet altijd zo. We hebben een aantal aardige, efficiënte, manieren om de eigenlijke berekening te doen ook: herinner je je dat het tweede argument onder het eerste argument getekend wordt, zorgvuldig zodat de cijfers uitlijnen van rechts naar links, dan teken je er een lijn onder, etc. Je kent de procedure; vergeet alleen niet om de $1$ te onthouden. Het was niet altijd zo. Dank Fibonacci. Wanneer mensen deze naam horen, denken ze meestal aan de Fibonacci getallenreeks $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ Maak je geen zorgen als je er nog nooit hebt van gehoord: we zullen deze beroemde stroom van getallen uiteindelijk verklaren gebruikmakend van grafische lineaire algebra. Voor nu wil ik proberen om je te overtuigen dat dit niet Fibonacci's grootste bijdrage tot de civilisatie was.

Wat context: Fibonacci kwam uit een rijke handelsfamilie van de 12de eeuwse middeleeuwse handelsrepubliek Pisa. Pisa was een van de meest rijke steden toenertijd — als je ooit Piazza dei Mirocali in Pisa hebt bezocht, dan heb je de pracht en praal uit eerste hand gezien. Toenertijd bestond veel van de rest van Europa uit houten stulpjes.

Wanneer Fibonacci een jongen was, reisde hij met zijn vader tot de handelsposten in Noord-Afrika, waar hij met de kinderen van lokale handelaars speelde en leerde over het Hindoe-Arabische positioneel cijfersysteem dat we nog steeds gebruiken vandaag. Europeanen, toentertijd, gebruikten Romeinse cijfers: $\text{I}, \text{II}, \text{III}, \text{IV}, \text{V}$, enzoverder. Als een oefening, laten we proberen om de slimme techniek te gebruiken die we kennen voor optellen, maar gebruikmakend van Romeinse cijfers. Het werkt niet. Romeinen waren goed in zovele dingen. maar hun cijfersysteem is klote. Ik ben er zeker van dat zelfs Cicero, een grote Romeinse patriot, het daarmee eens zou zijn, gegeven de aanwzingen.

In ieder geval, Fibonacci besefte hoe geweldig het Hindoe-Arabische cijfersysteem was en schreef een boek over, het Liber Abaci. Voor Fibonacci was de superioriteit van een positioneel cijfersysteem duidelijk: berekenen was zo veel gemakkelijker, efficiënter, minder gevoelig voor fouten. Het is ook duidelijk voor ons nu, natuurlijk.

In de tijd van Fibonacci, slaagde hij erin om sommige mensen, die bekend werden als de algoristen, te overtuigen. De conservatieven, diegenen die er de voorkeur aan gaven bij het status quo te blijven, werden abacisten genoemd. Ze gebruikten de abacus, en rekenden om naar en van het Romeinse cijfersysteem tussen berekeningen. De conservatieven hebben het voor het zeggen gekregen: het duurde een lange, lange tijd vooraleer Fibonacci's overtuigingen breder gedragen werden. In feite was de kentering van Romeins naar Arabisch slechts voltooid tegen het einde van de $16$de eeuw, $400$ (!) jaar na de publicatie van de Liber Abaci.

Ik ben er zeker van dat Fibonacci problemen zou gehad hebben met met het Pathways to Impact document. Hoewel Pathways to Impact klinkt als een Hollywood rampenfilm, is het eigenlijk een document dat alle wetenschappers in het Verenigde Koninkrijk moeten opnemen in hun subsidieaanvragen. Je moet op twee A4-pagina's neerschrijven hoe jou onderzoek de samenleving en de academische wereld zal beïnvloeden, maar voornamelijk hoe het de economie zal beïnvloeden.

Laten we, voor de lol, veronderstellen dat Fibonacci toegang had tot een tijdmachine en zag hoe zijn ideeën de Westerse wereld zouden transformeren. Laten we zelfs veronderstellen dat zijn subsidieaanvraag het tot in de interview-ronde gehaald heeft, in een prachtig palazzo op de Piazza dei Cavalieri.

"Mr. Fibonacci, we vroegen u heel duidelijk om ons te voorzien van een Impact Statement over hoe uw zogenaamde 'Arabische cijfers' de Pisaanse economie zullen beïnvloeden over een periode van $5$ tot $10$ jaar. Al onze beste handelaars gebruiken de abacus. Ik zie niet hoe deze technologie hen een competitief voordeel zal opleveren. In feite, klinkt deze gehele 'positioneel cijfersysteem' onzin een beetje abstract en nutteloos in onze oren. Ik bedoel, verwacht je van ons dat we $400$ jaar wachten om hier munt uit te slaan? Ben je krankzinnig?"

De wijze hoofden van de Onderzoeks-Raad van de Republiek Pisa (ORRP) knikten dan beleefd wanneer Mr. Fibonacci probeerde verder te verklaren, maar na een korte paneldiscussie kwamen ze er, in plaats daarvan, toch op uit om het geld van de belastingbetalers te investeren in geavanceerde abacustechnologie. Nou goed, ze hadden gelijk. De glorieuze Pisaanse republiek eindigde in het begin van de $15$de eeuw, toen Pisa viel onder Florentijnse overheersing. Uiteraard kon er van de belangrijkste belanghebbenden van de ORRP niet worden verwacht om $400$ jaar te wachten om hun investering vruchten te zien afwerpen.

Serieus nu echter, de Republiek van Pisa behandelde Fibonacci eigenlijk heel goed. Met zulke povere economische beslissingen, geen wonder dat ze uiteindelijk toch verloren van Firenze.

Onze grafische notatie kan een beetje meer beknopt: de diagrammen die we tot nu toe getekend hebben bevatten wat overbodige informatie die we veilig kunnen weggooien, zonder iets belangrijkt e verliezen. Het is in de regel goed om overbodige dingen weg te gooien. En het is zinvol om dit te doen, omdat we vele diagrammen zullen tekenen.

Onthoud, de nummers reizen altijd via de draden van links naar rechts. Dus de pijlpunten zijn overbodig. Ook zullen we het symbool $+$, binnenin de cirkel, vanaf nu af aan niet schrijven. Telkens wanneer je een witte cirkel ziet in een diagram op deze blog, zal het altijd optellen betekenen.

Eigenlijk, door de pijlpunten weg te gooien ben ik ook iets een beetje slinks aan het doen hier. Ik ben ons aan het voorbereiden op de tweede manier van het begrijpen van de operatie optellen, die ons zal helpen om het mysterie van de overgang tussen $\large{①}$ en $\large{②}$. Het weggooien van de pijlpunten lijkt op het juiste moment in de lucht te hangen, vele mensen zijn het aan het doen. We zullen dat allemaal in meer detail bespreken in een latere aflevering.

Het is tijd voor onze eerste vergelijking. Je herinnert je misschien een interessant iets over optellen. Als ik $3 + 4$ probeer te berekenen en ik maak geen fouten, dan zal ik hetzelfde resultaat verkrijgen dan wanneer ik $4+3$ bereken. In feite, als ik $x$ en $y$ als variabelen gebruik, om eender welke twee nummers te representeren, dan zou een wiskundige kunnen schrijven: $$∀ x,y \text{.} \hspace{25px} x + y = y + x \hspace{50px} \Large{③}$$ De ondersteboven $\text{A}$ betekent "voor alle". Dus $\large{③}$ zegt simpelweg dat het het geval is dat voor alle mogelijke keuzes van getallen aan $x$ en $y$ toe te wijzen, laten we zeggen $x=42$ en $y=24$, or $x=43$ en $y=57$, of $x=3$ en $y=4$, we weten dat de berekeningen $x+y$ en $y+x$ hetzelfde resultaat zullen hebben. Deze eigenschap staat bekend als de commutativiteit van de optelling.

Hier is hoe we hetzelfde ding als $\large{③}$ kunnen uitdrukken, met behulp van diagrammen. "Comm" is een afkorting voor "commutativiteit".

Alvorens ik verder verklaar, wil ik dat je je een wit papieren vierkant inbeeldt. Beeld je in dat het vierkant exact de juiste maat is zodat, wanneer ik eender welk van de twee diagrammen in (Comm) bedek, ik twee afbeeldingen krijg die er hetzelfde uitzien: ietwat zoals een elektrische stekker. In het bijzonder, merk op dat de delen die nog onbedekt zijn delen zijn waar de twee diagrammen overeenkomen — beide de diagrammen in (Comm) hebben hun bungelende draden op dezelfde plaats. Bungelende draden zijn draden waarvan een van de twee uiteinden niet verbonden zijn met iets anders. In beide de (Comm) diagrammen bungelen twee draden aan de linkerkant, en een draad is aan het bungelen aan de rechterkant.

Dit brnegt mij tot een belangrijk principe van grafische lineaire algebra: telkens wanneer we een vergelijking schrijven tussen twee diagrammen, zal het aantal bungelende draden aan de linkerkant en aan de rechterkant hetzelfde zijn. Trouwens, er zullen nooit bungelende draden zijn aan de bovenkant of aan de onderkant. Misschien zullen er in het geheel geen draden zijn, maar als er enkele zijn, dan moeten ze bungelen langs links, langs rechts, of langs zowel links als rechts. Dus waarom is (Comm) correct? Laten we eens kijken wat er gebeurt wanneer we wat argumenten aanleveren. We zouden kunnen proberen om wat nummers in te voeren om onszelf te overtuigen, maar misschien zouden we geluk hebben en onszelf van iets onwaar overtuigen. Zoals, bijvoorbeeld, het nu eenmaal waar is dat $2+2=2 \times 2$ maar het niet waar is dat voor alle mogelijke keuzes van $x$ en $y$ we $x+y=x \times y$ hebben. Juist? $x=3$ en $y=5$ latend, $3+5=8$ maar $3 \times 5=15$.. Dus laten we in de plaats daarvan variabelen gebruiken. We hebben al gezien dat. Voor de rechterzijde van (Comm) , merk op dat de waarde van de eerste bungelende draad aan de linkerkant eigenlijk aangesloten is als het tweede argument voor de optelling. Dus we krijgen. Maar we weten dat optelling speciaal is en het voldoet aan de eigenschap commutativiteit. Dus zelfs als we de twee diagrammen "niet meer kunnen inkijken", bijvoorbeeld als we ze bedekken met een groot wit vierkant zodat ze er beiden uitzien zoals We weten dat hun gedrag hetzelfde is. De anonieme witte doos, in elk van de twee gevallen, telt simpelweg de twee argumenten voorzien aan de linkerkant op en spuugt het resultaat uit aan de rechterkant.

Kijk nog eens naar $\large{③}$ en kijk naar (Comm). Welke van de twee verkies je? Als je $\large{③}$ zegt dan is dat cool. Ik zal je veel meer redenen geven om (Comm) lief te hebben. Voor nuzijn de redenen vooral esthetisch. We hoeven bijvoorbeeld geen ondersteboven letters in te voeren in (Comm), noch leren hoe ze in de praktijk te gebruiken.

If you are confused, don’t worry. I still need to explain a bit more about what diagrams are exactly, and how we construct them. What kind of things we can and can’t do with them. The rules of the game. You already know one, the one about having the same number of dangling wires in equations. The rules of the game are the subject of the next episode. If you’ve ever played with Lego, it should be smooth sailing. Als je verward bent, maak je geen zorgen. Ik moet nog steeds een beetje meer uitleggen over wat diagrammen precies zijn, en hoe we ze opbouwen. Wat voor soort dingen we wel en niet kunnen doen met hen. De spelregels. Je kent er al een, die over het hebben van hetzelfde aantal bungelende draden in vergelijkingen. De spelregels zijn het onderwerp van de volgende aflevering. Als je ooit met Lego gespeeld hebt, zou het van een leien dakje moeten gaan.

4) Vervlakking en Magische Lego

Alvorens we beginnen, heb ik een beetje gebulder. Ik weet dat sommige mensen daar ziek van zitten te worden. Als dat u omvat, beste lezer, dan kan je het veilig overslaan en verder gaan naar de inhoud, onder de horizontale lijn.

Ik heb deze blog bekend gemaakt op Facebook en heb een aantal zeer interessante opmerkingen en suggesties van vrienden en collega's ontvangen. Verschillende mensen hebben me gezegd meer beknopt te zijn. Ik postte ook een link naar deze blog in een commentaar op reddit. Wat vervolgens gebeurde was ... verrassend. De blog kreeg meer dan 3000 bezoeker-hits. In de reddit discussie had ik een aantal leuke commentaren, wat verdenkingen met betrekking tot de vrag of ik een gek ben, en een beleefde suggestie om meer beknopt te zijn.

Ik begrijp het punt over beknoptheid. Maar niet-wiskundigen misschien niet. Laat me voor hen verklaren: wanneer studenten over wiskunde leren op universitair niveau, leren ze wiskunde te lezen. Wiskunde lezen is niet zoals gewone proza lezen; het benodigt veel, veel meer tijd. Je leest een boekhoofdstuk eenmaal, je doet wat oefeningen, je herleest bepaalde delen nogmaals, je doet wat oefeningen, enzoverder, totdat de concepten glashelder zijn. In de tijd dat ik in de Sydney universiteit was, denkende aan het doen van een doctoraat in wiskunde, kon ik misschien door $10$ pagina's per dag graken. Dat was een volledige werkdag.

De schoonheid in beknoptheid is dat, eens je de concepten begrepen hebt en geen definitie of resultaat meer hoeft op te zoeken, je niet moet baggeren door paragrafen en paragrafen van lange monologen en verklaringen. De beste boeken en papers zijn duidelijk en ter zake. Een klassiek voorbeeld is Atiyah MacDonald: het is een prachtig book, brutaal beknopt en extreem handig om op je boekenplank te hebben als een standaardwerk.

Er zijn twee redenen waarom ik heb gekozen om op deze manier te schrijven. Een daarvan is om mijn werk te proberen uit te leggen aan familie, vrienden en collega's die geen wiskundigen zijn. Ik denk dat ze, voor het grootste deel, geen idee hebben wat het is dat ik precies doe.

De andere is dat ik de laatste jaren een abonnee van de London Review of Books ben geweest. De London Review is geweldig; haar inzenders zijn standvastig ongelofelijk getalenteerde schrijvers die opiniestukken schrijven, dagboekaantekeningen, en voornamelijk — verrassing! —boekbesprekingen. Boekbesprekingen zijn vaak in zulk een vorm dat ze een heel studieonderwerp samenvatten; misschien het proza van ene 18de eeuwse Franse auteur, de geschiedenis van een oude beschaving, of de bijdrages van ene over het hoofd geziene Italiaanse schilder van het quattrocento. De auteurs, die gewoonlijk domein-experten zijn, maken hun onderwerpen extreem helder voor een lekenpubliek, maar zonder ze te vervlakken. Ze nemen alle ruimte die ze nodig hebben en ze respecteren hun lezers.

Ik heb vele interessante dingen geleerd van de London Review. Ik zal u een voorbeeld geven: ik heb geleerd over Lucien Febvre, en zijn werk over de vraag of Rabelais al dan niet een atheïst was (geloof me, het is veel spannender dan het klinkt!). Die specifieke boekbespreking bleef in mijn hoofd hangen en uiteindelijk vond ik Febvre's boek in de bibliotheek. Febvre's ideeën veranderen volledig de manier waarop ik het concept van geschiedenis begrijp. Ik denk niet dat ik Febvre ooit zou gevonden hebben als het niet aan de London Review lag: de meeste van mijn vrienden hebben doctoraten in Informatica!

Ik wens dat de London Review meer artikelen over wiskunde en wetenschap zou bevatten, omdat ik niet echt een grote fan ben van “populaire wiskunde”. Al te vaak is het geschreven door specialisten van “gepopulariseerde wetenschap schrijven”. Ze focussen graag op de persoonlijkheden, hun seksleven, en hun gewoonten van op vensters te schrijven met gekleurde stiften à la “A Beautiful Mind”. Wanneer ze eindelijk toekomen aan de wiskunde krijgen we vaak een hoop vage analogieën, een vergelijking of twee, misschien met wat vage beweringen aan het einde aangebreid. Deze blog is een uitdaging om te zien of ik het aankan om wat van de wiskunde waar ik gedurende de laatste jaren heb aan gewerkt uit te leggen aan een lekenpubliek, maar zonder het te vervlakken. Om dat te laten werken moet beknoptheid opgeofferd worden, net zoals het opgeofferd is in de prachtige artikelen van de London Review. Ik wou gewoon dat ik half het talent van die schrijvers had!

Ik ga veronderstellen dat je al gehoord hebt van Lego. Veronderstel dat we een grote collectie van de volgende soort stenen hebben om mee te spelen.


In Lego terminologie (ja, er is zoiets) worden ze eigenlijk niet “stenen” genoemd. De dingen met de Lego-gemerkte bulten op de bovenkant worden platen genoemd. Dit is omdat het woord “steen”, in Lego-nomenclatuur, gereserveerd wordt voor hun langere neven, die een hoogte van $\text{drie}$ platen hebben, bovenop elkaar gestapeld. De hobbels op de bovenkant worden noppen genoemd, trouwens. Het gele ding zonder de noppen wordt een tegel genoemd — het heeft twee gaten voor noppen langs onder maar geen noppen aan de bovenkant. Maar we gaan praten over iets veel interessanter dan — laten we het toegeven — ietwat nerd-achtige namen voor speelgoed. Dus, met het risico van van Lego puristen van streek te brengen, zullen we ze gewoon stenen noemen vanaf nu.

Ik ga een algebra beschrijven, een beetje wiskundige taal die we zullen gebruiken om Lego-constructies te beschrijven. Eerst, laten we all stenen draaien en ze op hun zijde plaatsen zodat ze er als volgt uitzien. De algebra bestaat uit $\text{twee}$ operaties. Je hebt al een voorbeeld van een operatie gezien, optelling, in de vorige aflevering. Optelling neemt $\text{twee}$ argumenten, en heeft $\text{één}$ resultaat. De twee Lego-operaties nemen ook $\text{twee}$ argumenten en hebben ook $\text{één}$ resultaat. Verschillend van optelling zijn de argumenten geen nummers maar Lego-constructies. Het resultaat van het uitvoeren van elke operatie zal ook een Lego-constructie zijn.

De naam van de eerste operatie is ‘$\large{\oplus}$’, en we zullen het de directe som noemen in het Nederlands. Directe som werkt simpelweg door de Lego-constructie in het eerste argument boven de Lego-constructie in het tweede argument te zetten. Laten we eens kijken naar een paar voorbeelden, gebruikmakend van de simpele stenen in onze collectie. Merk op dat, anders dan de gewone optelling, de directe som niet commutatief is! De $\text{twee}$ voorbeelden daarboven zijn daar een goed voorbeeld van; de argumenten omwisselen resulteert in verschillende constructies. Je zou kunnen tegenwerpen dat de resultaten eigenlijk dezelfde zijn: als ik de eerste omdraai, krijg ik de tweede. Het aantal gaten en noppen is hetzelfde. Knap denkwerk, en ik heb je manoeuvre graag.


Dit is een heel belangrijk punt, dus laten we er een minuutje tijd aan besteden. Gebruikmakend van de directe som kunnen we een kolom van stenen opbouwen, bovenop elkaar gestapeld. Dus beeld je voor een seconde in dat we de twee bovenstaande resultaten als gelijk beschouwden. Ze zijn, respectievelijk, de eerste argumenten in de volgende twee voorbeelden. Dus als we die beslissing hadden gemaakt, dan zouden we ook deze resultaten als gelijk moeten beschouwen. Hier is het bewijs, waar we het vraagteken op de initiële bestrijdbare veronderstelling plaatsen.


Om een lang verhaal kort te maken, de directe som als commutatief beschouwen resulteert in compleet de volgorde vergeten van de stenen in eender welke stapel stenen die er uit zijn opgebouwd. Maar de volgorde waarin ze gestapeld zijn is cruciaal, we kunnen het niet vergeten. We moeten ze kennen vanwege de tweede operatie, die ons toelaat om stenen met elkaar te verbinden door noppen in gaten te laten passen. Als we de volgorde zouden vergeten zouden we niet weten in welke gaten welke noppen aan te brengen! De tweede operatie, genaamd ‘$\large{\text{;}}$’, wordt samenstelling genoemd in het Nederlands. Het is een beetje ingewikkelder dan de directe som: het werkt alleen maar op constructies die perfect verbonden kunnen worden. Een perfecte verbinding betekent dat het aantal noppen uitstekend uit het eerste argument exact het aantal gaten is in het tweede argument. Bijvoorbeeld: Net zoals de directe som is de samenstelling niet commutatief, zoals het volgende voorbeeld illustreert. Dus, niet zoals bij de optelling, is de volgorde van de argumenten belangrijk. Hier is een ander voorbeeld: De reden waarom de samenstelling operatie ($\large{\text{;}}$) een beetje neteliger is dan de directe som ($\large{\oplus}$) wordt aangetoond door het voorbeeld hieronder, waarin de samenstelling niet gedefinieerd is.

Uiteraard, met echte Lego, zou ik een constructie kunnen maken door de korte blauwe bouwsteen aan de lange rode bouwsteen vast te maken. Echter, ik zou je moeten vertellen welke van de rode bouwsteen zijn noppen te gebruiken, en er zijn vier verschillende mogelijkheden. Samenstelling wilt ons niet altijd lastig vallen met deze mogelijkheden, het geeft gewoonweg op: in het voorbeeld hierboven heeft de samenstelling geen resultaat op die bepaalde argumenten. Onze Regels van het Spel declareren dat de uitdrukking gewoon niet zinvol is, vergelijkbaar met hoe het geen zin heeft om $2$ kilogram bij $2$ meter op te tellen.

Hoe kunnen we dit een beetje preciezer maken? Het is vrij eenvoudig. We kunnen een paar natuurlijke getallen (niet-negatieve gehele getalllen) koppelen aan elke Lego constructie. Het eerste getal vertelt ons hoeveel gaten het heeft, het tweede vertelt ons hoeveel noppen het heeft. We kunnen dit hieronder doen voor de basis-stenen.

Vervolgens hebben we regels die deze informatie met meer gecompliceerde constructies associëren. Eerst, voor de directe som: $$\frac{X:(k, l) \quad Y:(m, n)}{X \oplus Y:(k+m,l+n)}$$ Laat me uitleggen wat deze regel zegt. Eerst de structuur van de regel: je moet alles boven de horizontale lijn lezen als zijnde aannames, en het ding onder de lijn als zijnde de conclusie. Dus de regel zegt dat, aannemend dat $X$ een Lego constructie is met $k$ gaten aan de linkerzijde en $l$ noppen aan de rechterzijde, en dat $y$ een Lego constructie is met $m$ gaten en $n$ noppen, dan zal $X \oplus Y$ een Lego constructie zijn met $k+m$ gaten en $l+n$ noppen. Aangezien we weten dat $\oplus$ werkt door het eerste ding bovenop het tweede ding te plaatsen, is dit een vrij voor de hand liggend, toch?

Vervolgens, de regel voor de samenstelling ziet er uit als volgt. $$\frac{X:(k,l) \quad Y:(l,m)}{X ; Y:(k,m)}$$ Hij zegt dat de samenstelling $X;Y$ gedefinieerd is mits het aantal noppen van $X$ gelijk is aan het aantal gaten van $Y$. Alsook het afwijzen van ons eerdere poging om de blauwe $1 \times 1$ bouwsteen met de rode $1 \times 4$ bouwsteen te verbinden, verbiedt de regel ons ook om de volgende samenstelling uit te voeren. Dit is misschien een beetje onverwacht, aangezien we met echte Lego, natuurlijk, een constructie kunnen maken door de stenen van deze vormen met elkaar te verbinden. Maar zoals we al zeiden, we willen de verbinding alleen toelaten als ze perfect is, en hier heeft het tweede argument meer gaten dan het eerste argumenten noppen heeft.

We hebben nu een taal voor het beschrijven van wat Lego constructies in termen van hun basis stenen. Bijvoorbeeld Sommigen van jullie kijken waarschijnlijk een beetje scheel naar het scherm. Iets is niet helemaal juist aan dit verhaal. Ik zal open kaart spelen, ik was eigenlijk helemaal niet echt aan het spreken over Lego, maar over magische Lego. Meteen na deze (optionele) berichten.


Toen ik een kind was in Polen, in het midden van de jaren 1980, was ik helemaal weg van Lego. Dat ben ik nog steeds, hoewel ik waarschijnlijk niet helemaal als een VFVL ["Volwassen Fan Van Lego", naar het Engelse "AFOL" oftewel "Adult Fan Of Lego"] bestempeld kan worden. Maar toenertijd was ik geobsedeerd met de spullen. Enige achtergrond: Polen was in de jaren $1980$ nog steeds officiëel communistisch, hoewel niemand er eigenlijk ooit een woord van geloofd had, noch de mensen aan de macht, noch de mensen op straat. Iedereen was, min of meer, aan het wachten tot het systeem zou uiteenbrokkelen. Het was slechts een kwestie van tijd. De economie was een grap, de zwarte markt was aan het bloeien, en op een of andere manier sloegen de mensen zich er door.

Ik heb de laatste $25$ jaar van mijn leven besteed aan het proberen overtuigen van mensen dat mijn jeugd niet zo grijs en ellendig was als ze het zich voorstellen. Het was nogal geweldig, eigenlijk. Mijn ouders verdiende iets van een $\$50$ per maand, in “harde valuta”. Natuurlijk, was de koopkracht veel meer in de lokale valuta. Het was genoeg voor al de basisbehoeften, alhoewel wc-papier altijd een uitdaging was, voor een of andere reden. Zoiets als Lego, echter, moest betaald worden in harde valuta. Desalniettemin kreeg ik de meeste jaren Lego voor Kerstmis — en ik heb geen idee hoe mijn ouders het klaarspeelden.

Eens, ik denk dat ik $8$ was, zond ik een fanmail naar de Lego-fabriek in Denemarken. Mijn vader hielp me met het Engels. Een paar weken later kreeg ik een lieflijk antwoord, tezamen met een paar vellen Lego stickers die ik overal op mijn oefenschriften plakte. Mijn klasgenoten stikten van jaloezie, en mijn liefde voor Lego was eeuwigdurend gemaakt. Trouwens, dit was $1980$er jaren Lego. Toen het OK was voor meisjes om ook te spelen. Voordat ze zich vertakkend uitbreidden in “Lego Friends” en andere zulke gruwelen. Mijn zusje speelde met (gewone) Lego, en GI Joes, maar ze speelde ook met Barbies. Nu is ze een gender-geïnformeerde geschiedkundige aan de Monash Universiteit in Melbourne. Ga je na. Over mijn zus gepraat, ik zou haar laatste boek moeten pluggen. Het is zeer interessant. Grapje, het is geweldig!

Hier is waar er wat problemen zijn met wat we tot nog toe verteld hebben. De regel voor samenstelling vertelt ons dat we het zinvol zouden moeten kunnen vinden om eender welke twee constructies samen te stellen waarbij het aantal noppen in het eerste argument gelijk is aan het aantal gaten in het tweede argument. Maar dit is een probleem voor gewone Lego, want hoe kunnen we betekenis geven aan het volgende? Onze regel zegt dat deze samenstelling toegelaten zou moeten worden, omdat het aantal noppen van de eerste constructie gelijk is aan het aantal gaten in de tweede. Dit is waar de magie binnenkomt. In magische Lego is het resultaat als volgt.


Tijdens de samenstelling groeide de tweede bouwsteen op magische wijze zodat zijn twee gaten op de juiste plaats waren om in de noppen van het eerste argument te passen. Maar de magie stopt daar niet; het volgende is ook waar, in magische Lego. Hier blijft het tweede argument er hetzelfde uitzien, maar de rand van het eerste trekt zo samen dat de twee noppen passen in de gaten van het tweede argument. Maar hoe kunnen ze allebei waar zijn? Wel, met magische Lego worden de twee resultaten als één en hetzelfde beschouwd. Dit lijkt misschien een beetje mysterieus, maar als je over nadenkt, de bouwinstructies zijn in beide gevallen hetzelfde: dezelfde noppen gaan in dezelfde gaten. Je kan van de ene naar de andere gaan door de stenen te vervormen, alsof ze van rubber gemaakt zouden zijn. Samengevat: waar het omgaat met magische Lego is niet de grootte of vorm van de stenen — gewoon hoe ze verbinden tot andere stenen.

Analoog gebeurt het volgende.


Hier groeit het tweede argument zodat de gaten en de noppen uitlijnen in het resultaat. Zoals je kan zien kunnen we met magische Lego geen onderscheid maken tussen platen en stenen. We zullen zien hoe dit alles gerelateerd is aan diagrammen in de volgende aflevering.

[...]

¿ Te worden aangevuld. Wil je graag je steentje bijdragen, door extra tekst te vertalen onder de Attribution-ShareAlike 4.0 licentie? Dat zou geweldig zijn! Gelieve mij te contacteren. ?
¿Esperanto, sign language, braille, morse code, ...?
¿ Would you like to contribute by translating extra text into any language (either new or already listed here), under the Attribution-ShareAlike 4.0 license which attempts to keep knowledge open to all? That would be great! Please feel free to contact me. ?

Footnotes

  • 1. In relation to the total amount of translated text (by all authors collectively), per language. Calculated on the basis of a word count per episode, as from the original English version.
  • 2. With regards to the Chinese translations (traditional and simplified), specific contributions per author are as follows:
    • Extract of the preface to Liber Abaci (Chung-Yi Lan);
    • Episode 1 (Chung-Yi Lan).
  • 3. With regards to the German translation, specific contributions per author are as follows:
    • Extract of the preface to Liber Abaci (Vincent Verheyen);
    • Episode 1 (Vincent Verheyen).
  • 4. With regards to the Spanish translation, specific contributions per author are as follows:
    • Extract of the preface to Liber Abaci (Chung-Yi Lan);
    • Episode 1 (Chung-Yi Lan).
  • 5. With regards to the French translation, specific contributions per author are as follows:
    • Extract of the preface to Liber Abaci (Vincent Verheyen);
    • Episode 1 (Tom Hirschowitz, Noël Bernard, Clovis Eberhart, Rodolphe Lepigre, Christophe Raffalli, Vincent Verheyen);
    • Episode 2 (Tom Hirschowitz).
  • 6. With regards to the Dutch version, specific contributions per author are as follows:
    • Extract of the preface to Liber Abaci (Vincent Verheyen);
    • Episode 1 (Vincent Verheyen);
    • Episode 2 (Vincent Verheyen);
    • Episode 3 (Vincent Verheyen);
    • Episode 4 (Vincent Verheyen).
  • 7. I presume that this figure was called "Classic Spaceman (Blue with air tanks)" by Lego, first released in 1984. Please note that I have altered the appearance (size and position) of the lego on the chest of the figure. The colour may also diverge significantly from the original figure's colour.
  • 8. At 22:30PM (UTC/GMT-6) to be precise.

Add new comment